ELE501 – Doğrusal Sistemler, 2021–2022/I

Duyurular (yeniden eskiye)

  • Ara sınav sonuçlarına ulaşmak için tıklayın.
  • Ara sınav uzaktan olduğu için kâğıt gösterimi olamayacaktır, zaten gönderilen dosyalar üzerine işaretleme yapılmamıştır. Ara sınav soruları ile ilgili açıklamalar, önemli noktalar, bazı notlar ve sık yapılan hatalar aşağıda verilmiştir. Bunları inceleyerek sorudan aldığınız notlarla kıyaslayıp kendiniz için durum değerlendirmesi yapmanız mümkün olacaktır. Lütfen dikkatlice okuyunuz. Aşağıda zaten açıklanmış olan konularla ilgili epostalar diğerlerine öncelik verilebilmesi açısından cevapsız kalabilir veya geç dönüş olabilir. Eğer detaylıca incelemenize rağmen hala sorunuz varsa dersin hocası ve asistanına tek epostada gönderiniz, aksi durumda gözden kaçabilir.
  • SORU 1:
    Bu soruda direkt olarak uzay özelliklerinden yapılması istendiği için tüm özellikler tek tek kontrol edilerek yapılmalıdır. Alt uzay özelliği kullanılarak yapılan çözümler sorunun açıklamalarına uymadığı için doğru kabul edilemez.
    • a şıkkı : Uzay değildir.  Toplamaya göre ters olmaması vb. bazı özelliklerin sağlanmadığı görülebilir. Uzay olmadığını göstermek için tek bir ters örnek yeterlidir. (Mesela v=1 X’in elemanıdır ama X içerisinde tersi yoktur gibi)
    • b şıkkı : Uzaydır. Uzay olduğunu göstermek için tüm özelliklerin sağlandığını gösteren genel (parametrik) ispat yapılmalı. Özellikleri sağlayan sayısal örnekler vermek genel bir ispat kabul edilemez.
    • b şıkkı : uzayın “sıfırı” [1;1] vektörüdür. Sıfır vektörünün elemanları 0 olan vektör yani [0;0] olması gibi bir zorunluluk yoktur, şartları sağlayan bir vektör olması yeterlidir. Dolayısıyla “Kümenin sıfır yoktur, vektör uzayı değildir” gibi bir önerme doğru değildir.
  • SORU 2:
    Bu soruda alt uzay özelliği (Y kümesinden herhangi iki elemanın doğrusal birleşiminin yine Y içinde kalması) gösterilerek yapılmalıdır. Direkt olarak uzay özellikleri tek tek kontrol edilerek yapılan çözümler sorunun açıklamalarına uymadığı için doğru kabul edilemez.
    • a şıkkı : Alt uzayıdır çünkü herhangi iki elemanın doğrusal bileşimi yine verilen tiptedir. Taban {x, 1, j} şeklindedir. Bu vektörlerin reel katsaylı (çünkü alan reel sayılar) doğrusal birleşimleri ile ax+b biçimindeki tüm vektörler elde edilebilir. (a sadece reel olabilir, b’nin kompleks olabileceğine dikkat edilmeli.) Dolayısıyla boyut 3’tür.
    • a şıkkı : Taban vektörleri polinomlardan oluşmalıdır; tabanı [1;0;0] şeklinde ifadelerle vermek doğru değildir. (Bu tür ifadeler ancak taban seçildikten sonra kullanılabilir, soruda zaten taban soruluyor.)
    • b şıkkı : Alt uzaydır. Y’de sadece tek bir fonksiyon (sıfır fonksiyonu) var. Bunun kendisiyle her türlü doğrusal birleşimi yine sıfır fonksiyonudur yani Y’dedir. Sıfır vektörü bağımsız olamaz (tek başına bile) dolayısıyla boyut 0’dır, taban vektörü de yoktur. Veya taban boş kümededir, {} şeklindir vb. ifadeler yazılabilir. ( {0} boş küme demek değildir, içinde 0 vektörü olan 1 elemanlı küme demektir, taban olarak bu ifade yanlıştır. Tabanı sadece 0 vektörü, boyutu da 1 vermek doğru değildir, taban sadece bağımsız vektörlerden oluşabilir. )
  • SORU 3:
    • a şıkkı : Doğrusal dönüşüm olduğu genel (parametrik) olarak süperpozisyondan gösterilmedir. “Türev zaten doğrusaldır”, “Doğrusal olduğu barizdir” yazmak veya süperpozisyonu sağlayan tek bir örnek vermek doğru bir çözüm değildir.
    • b şıkkı : Taban vektörlerine dönüşüm uygulanarak sonuçlar yine bu tabanda ifade edilerek katsayılardan matris oluşturulmalıdır. Vektörlerin verildiği sıraya dikkat edilmelidir, sıra karıştırılırsa matris farklı çıkar.
    • b şıkkı : Rank 2, sıfırlık 2 bulunmalıdır.
    • c şıkkı : Bağımsız sütunlar erim için tabandır. Sıfırlık uzayı için taban Ax = 0’dan çözülebilir.
    • d şıkkı : Taban vektörlerine dönüşüm uygulanarak sonuçlar yine bu tabanda ifade edilerek katsayılardan matris oluşturulmalıdır. Sonuçların doğal tabanda ifade edilmesi yanlıştır, hangi taban için matris yazılıyorsa o tabanda katsayılar bulunmalı ve matrise yazılmalıdır.
    • e şıkkı : Tabanlar birbiri cinsinden yazılarak dönüşüm matrisi bulunabilir. Hangi tabanın hangi taban cinsinden yazıldığı, dolayısıyla P mi yoksa tersinin mi bulunduğuna dikkat edilmelidir.
    • f şıkkı : f^2 teriminden dolayı doğrusal değildir. Tek bir ters örnek için (mesela f(x)=x alınarak) süperpozisyon sağlanmadığını göstermek yeterlidir.
  • SORU 4 :
    • a şıkkı : Özdeğerler ve özvektörlerin nasıl bulunduğu, genelleştirilmiş özvektör adımları detaylıca gösterilmedir. Bilgisayara çözdürüp sadece sonuçları yazmak puan alamaz. Sıfır sayısı da özdeğer olabilir. Ama sıfır vektörü özvektör olamaz. (tanım gereği)
    • b şıkkı : Minimal polinom en büyük Jordan blokları kullanılarak bulunabilir. Bu şıkta tek bir üçlü blok olduğu için karakteristik polinom ile aynı (lambda^3) çıkıyor ama her zaman böyle olmak zorunda değil.
    • c şıkkı : Matris üç boyutlu olduğu için e^At ifadesi ikinci dereceden bir matris polinomu olarak yazılabilmeli. f(x)=e^xt ve g(x)=ax^2+bx+c fonksiyonlarını özdeğerler ve türevlerinde eşleme yöntemi ile polinom katsayıları a,b,c bulunup orada A matrisi yerine konularak hesaplanabilir.
    • d şıkkı : e^At = P e^JA.t P^-1 gibi bir ifade ile bulunabilir. Burada JA Jordan matrisi, P dönüşüm matrisidir. Jordan blokları için matris eksponansiyelinin doğrudan ifadesi derste verilmişti.  P matrisi de a şıkkında bulunmuştu.
    • e şıkkı : Burada matris normunun tanımı düşünülmelidir.
    • f şıkkı: Özdeğerler 4, 4, 4 çıkmalı dolayısıyla karakteristik polinom (lambda-4)^3. Jordan biçiminde 4 özdeğeri için ikili ve tekli bloklar olmalı. En büyük blok ikili olduğu için minimal polinom (lambda-4)^2.
    • g şıkkı : Özdeğerler -2, -1, 2 çıkmalı. Ayrık özdeğerler olduğu için Jordan biçimi köşegendir. Karakteristik ve minimal polinomlar aynıdır: (lambda+2)(lambda+1)(lambda-2)
  • Final için geç teslimle ilgili sorular geliyor. Sınavlarda normalde geç teslim kabul edilmemektedir. Fakat finali ödev formatında verdiğimiz için sadece bir gün kadar geç teslim kabul edilecek olup, geç teslim edilen ödevler 10 puan kırılarak değerlendirilecektir. Daha geç teslim kabul edilmeyecektir çünkü sınavların okunup notların girilmesi için yeterli zaman yoktur. Özetle 17 Aralık 2021 saat 23.59’a kadar gönderilen finaller 10 puan kırılarak değerlendirilecek, sonrasında gönderilen finaller kabul edilmeyecektir.
  • Final sorularına ulaşmak için tıklayın. Son gönderim tarihi 16 Aralık 2021 Perşembe günü saat 23.59’dur.
  • 9 Aralık 2021 Perşembe günü verilecek ara sınavın saatiyle ilgili sorular geliyor; büyük ihtimalle akşam saatleri (geceye doğru da olabilir) verilecektir. Verildiği saate göre teslim saati uygun şekilde ayarlanacaktır.
  • İkinci ödev çözümlerine ulaşmak için tıklayın .
  • İkinci ödev için geç teslimle ilgili sorular geliyor. Bu ödev için sadece bir gün kadar geç teslim kabul edilecek olup, geç teslim edilen ödevler 10 puan kırılarak değerlendirilecektir. Daha geç teslim kabul edilmeyecektir çünkü 9 Aralık’ta final verileceği için 7 Aralık’ta cevap anahtarı açıklanacaktır. Özetle 7 Aralık 2021 saat 11.00’e kadar gönderilen ödevler 10 puan kırılarak değerlendirilecek, sonrasında gönderilen ödevler kabul edilmeyecektir.
  • Ödev notlarına ulaşmak için tıklayın. Ödevler okundukça güncellenecektir, düzenli takip ediniz. Ödevle ilgili sorularınız olursa dersin hocası ve asistanına tek epostada gönderiniz, aksi durumda görülmeyebilir.
  • Konular yetişmediği için 3 Aralık 2021 Cuma günü 10.30‘da ders yapılacaktır. Mümkün olursa her zamanki gibi ders programından ulaşılan linkten yapılacaktır. Ancak çalışmama durumu ve farklı bir toplantı açma gerekliliği olabilir, giremezseniz lütfen ders saatinde siteyi kontrol ediniz, oradan farklı link paylaşılacaktır.
  • Sınıfta kararlaştırıldığı üzere final sınavı 9 Aralık 2021 tarihinde ödev formatında verilecek ve bir hafta kadar süresi olacaktır.
  • İkinci ödev sorularına ulaşmak için tıklayın. Son gönderim tarihi 6 Aralık 2021 Pazartesi günü sabah saat 11.00’dir.
  • Ara sınav sorularına ulaşmak için tıklayın. Son gönderim tarihi 14 Kasım 2021 Pazar günü saat 23.59’dur.
  • Birinci ödev çözümlerine ulaşmak için tıklayın.
  • Ara sınav Sistemlerin Matematiksel Gösterimi’ne kadar olan konulardan olacaktır.
  • Birinci ödev için teslim tarihi web sitesine 2 Kasım 2021 Salı yazılmış ancak sınıfta 4 Kasım 2021 Perşembe olarak söylenmiş olduğundan mağduriyet yaşanmaması açısından 4 Kasım 2021 Perşembe saat 10.00‘a kadar gönderilen ödevler kabul edilecektir.
  • 29 Ekim 2021 Cuma günü resmi tatil olduğu için ders yapılmayacaktır.
  • 22 Ekim 2021 Cuma günkü dersimiz 11.30’da başlayacak ve tek saat yapılacaktır.
  • Ara sınav 13 Kasım 2021 Cumartesi günü öğleden sonra verilecek (take-home) ve 24 saat süresi olacaktır.
  • Birinci ödev sorularına ulaşmak için tıklayın. Son gönderim tarihi 2 Kasım 2021 Salı günü sabah saat 10.00’dur.
  • 8 Ekim 2021 Cuma günü blok ders yapılacak ve biraz erken bitirilecektir.
  • 29 Eylül 2021 Çarşamba günü blok ders yapılacak ve biraz erken bitirilecektir.
  • Ders kayıtlarının olduğu oynatma listesine ulaşmak için tıklayın.
  • Dersle ilgili tüm duyurular bu alandan yapılacaktır. Bu alanı düzenli olarak takip etmek sizin sorumluluğunuzdur.

Dersin Hocası

Dersin Asistanı

  • Artun Sel 
    Ofis: Teknoloji Merkezi
    Eposta: 

Plan     

  • Ders saatleri: Çarşamba 10.30-12.20 ve Cuma 10.30-12.20.
  • Ara sınav tarihi: 13 Kasım 2021 Cumartesi öğleden sonra (take-home). Süre: 24 saat.
  • Final sınavı tarihi: 9 Aralık 2021 Perşembe günü akşamı ödev formatında verilecektir. Süre: 1 hafta
  • Pandemi nedeniyle dersler Zoom üzerinden yapılacaktır. Linklere ulaşmak için program sayfasından ELE 501 dersinin programına gidiniz.

 

Dersin Web Sitesi

Notlandırma

  • Ara sınav notu: %50
  • Final notu: %50
  • Ödevler: 2-4 adet, isteğe bağlı, ek puan

Ders Kitapları

  • Chi Tsong Chen, Linear System Theory and Design, 3. Baskı, Oxford University Press, 1999, ISBN: 978-0195117776
  • John S. Bay, Fundamentals of Linear State Space Systems, McGraw-Hill, 1998, ISBN: 978-0256246391
  • Nezahat Çetin, Nevin Orhun, Orhan Özer, Lineer Cebir, T.C. Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi Yayınları, 1998, ISBN: 975-4928290.

Dersin Konuları

  1. Doğrusal sistem kuramına giriş
  2. Doğrusal uzaylar, doğrusal bağımsızlık, taban vektörleri, taban değişimi, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem sistemleri
  3. Özdeğerler ve özvektörler, kare matris fonksiyonları, en küçük polinom, matris fonksiyonları, norm ve iç çarpım
  4. Sistemlerin matematiksel gösterimleri, doğrusallık, nedensellik, durağanlık, zamanla değişmezlik, transfer fonksiyonu matrisi, durum uzayı gösterimi
  5. Dinamik denklemlerin çözümü, temel matris, durum geçiş matrisi, eşdeğer dinamik denklemler
  6. Doğrusal sistemlerde kararlılık, Lyapunov kararlılığı, asimptotik kararlılık, sınırlı girdi-sınırlı çıktı kararlılık, Lyapunov’un doğrudan yöntemi
  7. Kontrol edilebilirlik (denetlenebilirlik) kavramı, kontrol edilebilirlik Gram matrisi, kararlılaştırılabilirlik
  8. Gözlemlemlenebilirlik (gözlenebilirlik) kavramı, gözlemlenebilirlik Gram matrisi, algılanabilirlik
  9. Kalman doğal ayrışımı, denetlenebilir doğal biçim, gözlemlenebilir doğal biçim, minimal gösterim
  10. Durum geri beslemesi, özdeğer (kutup) ataması, Ackerman formülü, durum gözleyicileri, ayrıştırma prensibi.
  • Ders videolarının olduğu oynatma listesine ulaşmak için tıklayın.

Son Güncelleme: 15 Aralık 2021